On the Problem of Plateau / Subharmonic Functions

یک تابع محدب f را می‌توان به معنای زیر خطی نامید. اگر یک تابع خطی l ::=: j در نقاط مرزی یک بازه باشد، l:> j در داخل آن بازه نیز باشد. اگر اصطلاحات بازه و اتصال خطی را با عبارت دامنه و تابع هارمونیک جایگزین کنیم، عبارتی به دست می آید که ویژگی مشخصه توابع زیر هارمونیک دو یا چند متغیر را بیان می کند. این ژنرالیزاسیون که توسط F. RIEsz فرموله و توسعه داده شد، بلافاصله توجه بسیاری از ریاضیدانان را به خود جلب کرد، هم به دلیل علاقه ذاتی و هم به دلیل طیف گسترده ای از کاربردهای آن. اگر f (z) یک تابع تحلیلی از متغیر مختلط z = x + i y باشد. پس اگر (z) I ساب هارمونیک باشد. پتانسیل توزیع جرم منفی ساب هارمونیک است. در هندسه دیفرانسیل، سطوح دارای انحنای منفی و سطوح حداقل را می توان از نظر توابع زیر هارمونیک مشخص کرد. ایده تابع ساب هارمونیک منجر به کاربردها و تفاسیر قابل توجهی در زمینه هایی می شود که به آنها اشاره شد، و برعکس، هر یک از این زمینه ها ظاهراً منبعی تمام نشدنی از قضایای جدید در مورد توابع زیر هارمونیک، چه به صورت قیاسی و چه به صورت دلالت مستقیم است. /p>

A convex function f may be called sublinear in the following sense; if a linear function l is ::=: j at the boundary points of an interval, then l:> j in the interior of that interval also. If we replace the terms interval and linear junction by the terms domain and harmonic function, we obtain a statement which expresses the characteristic property of subharmonic functions of two or more variables. This ge­ neralization, formulated and developed by F. RIEsz, immediately at­ tracted the attention of many mathematicians, both on account of its intrinsic interest and on account of the wide range of its applications. If f (z) is an analytic function of the complex variable z = x + i y. then If (z) I is subharmonic. The potential of a negative mass-distribu­ tion is subharmonic. In differential geometry, surfaces of negative curvature and minimal surfaces can be characterized in terms of sub­ harmonic functions. The idea of a subharmonic function leads to significant applications and interpretations in the fields just referred to, and· conversely, every one of these fields is an apparently in­ exhaustible source of new theorems on subharmonic functions, either by analogy or by direct implication.