Local Multipliers of C*-Algebras

بسیاری از مشکلات در تئوری عملگر منجر به در نظر گرفتن معادلات عملگر می شود، چه به طور مستقیم و چه از طریق فرمول بندی مجدد. با این حال، بیشتر اوقات، فضای زیربنایی آنقدر "کوچک" است که حل این معادلات را شامل نمی شود و بنابراین باید به نحوی "بزرگ" شود. بزرگ شدن بربری-کویگلی فضای باناخ، که به فرد اجازه می دهد تا تقریبی را به بردارهای ویژه واقعی تبدیل کند، به عنوان یک مثال کلاسیک عمل می کند. در تئوری جبرهای عملگر، جبر C*-A که به نظر می رسد کوچک است از این نظر، به جبر (جهانی) فون نویمان A بزرگ می شود. غنی‌تر و از دیدگاه فضای باناخ، A چیزی نیست جز دومین فضای دوگانه A. از جمله کاربردهای پربار این اصل، قضیه معروف Kadison-Sakai است که تضمین می‌کند هر مشتق 8 روی یک C *-جبر A در A درونی می شود، اگرچه 8 ممکن است در A درونی نباشد. انتقال از A به A\" اما جبری نیست (و نمی تواند باشد زیرا به خوبی شناخته شده است که خاصیت فون بودن جبر نویمان را نمی توان صرفاً به صورت جبری توصیف کرد). بنابراین، اگر جبر C*-A از نظر جبری کوچک باشد، مثلاً ساده، ممکن است رفتن به A نامناسب باشد.» در چنین شرایطی، A معمولاً با جبر ضریب M(A) آن بزرگ می‌شود.</ p>

Many problems in operator theory lead to the consideration ofoperator equa­ tions, either directly or via some reformulation. More often than not, how­ ever, the underlying space is too 'small' to contain solutions of these equa­ tions and thus it has to be 'enlarged' in some way. The Berberian-Quigley enlargement of a Banach space, which allows one to convert approximate into genuine eigenvectors, serves as a classical example. In the theory of operator algebras, a C*-algebra A that turns out to be small in this sense tradition­ ally is enlarged to its (universal) enveloping von Neumann algebra A". This works well since von Neumann algebras are in many respects richer and, from the Banach space point of view, A" is nothing other than the second dual space of A. Among the numerous fruitful applications of this principle is the well-known Kadison-Sakai theorem ensuring that every derivation 8 on a C*-algebra A becomes inner in A", though 8 may not be inner in A. The transition from A to A" however is not an algebraic one (and cannot be since it is well known that the property of being a von Neumann algebra cannot be described purely algebraically). Hence, ifthe C*-algebra A is small in an algebraic sense, say simple, it may be inappropriate to move on to A". In such a situation, A is typically enlarged by its multiplier algebra M(A).