Littlewood-Paley and Multiplier Theory

این کتاب در نظر گرفته شده است که شرح مفصل و با دقت نوشته شده ای از نسخه های مختلف قضیه لیتل وود- پالی و برخی از کاربردهای آن، همراه با نشانه هایی از اهمیت کلی آن در نظریه ضرب فوریه باشد. ما تلاش کرده‌ایم که ارائه را مستقل و یکپارچه کنیم و عمدتاً برای استفاده دانشجویان فارغ‌التحصیل و ریاضیدانان مستقری که مایل به شروع مطالعات در این زمینه‌ها هستند، تطبیق داده شده است: مطمئناً برای متخصصان این موضوع در نظر گرفته نشده است. تجربه ما و بسیاری از دانشجویان و همکاران ما این بوده است که این حوزه ای است که کتاب های موجود در آن بسیار ضعیف است. گزارش‌های آن‌ها از موضوع یا برای نیازهای یک مبتدی مناسب نیست، یا تکه‌تکه، یا در یک یا دو مورد، مبهم است. امیدواریم که کتاب ما تا حدودی بتواند این شکاف در ادبیات را پر کند. ارائه ما از قضیه Littlewood-Paley در امتداد دو خط اصلی پیش می‌رود، اولی مربوط به انتگرال‌های منفرد در گروه‌های فشرده محلی، و دومی به مارتینگل‌ها. هر دو نسخه کلاسیک و مدرن این قضیه، متناسب با n گروه کلاسیک IRn، ?L، Tn و برای کلاس‌های خاصی از گروه‌های جدا شده بررسی می‌شوند. برای گروه‌های جداشده از فصل‌های 4 و 5 است که ما دو گزارش جداگانه از قضیه لیتل‌وود-پیلی ارائه می‌کنیم: اولی تحلیلی فوریه و دومی احتمالی.

This book is intended to be a detailed and carefully written account of various versions of the Littlewood-Paley theorem and of some of its applications, together with indications of its general significance in Fourier multiplier theory. We have striven to make the presentation self-contained and unified, and adapted primarily for use by graduate students and established mathematicians who wish to begin studies in these areas: it is certainly not intended for experts in the subject. It has been our experience, and the experience of many of our students and colleagues, that this is an area poorly served by existing books. Their accounts of the subject tend to be either ill-suited to the needs of a beginner, or fragmentary, or, in one or two instances, obscure. We hope that our book will go some way towards filling this gap in the literature. Our presentation of the Littlewood-Paley theorem proceeds along two main lines, the first relating to singular integrals on locally com­ pact groups, and the second to martingales. Both classical and modern versions of the theorem are dealt with, appropriate to the classical n groups IRn, ?L , Tn and to certain classes of disconnected groups. It is for the disconnected groups of Chapters 4 and 5 that we give two separate accounts of the Littlewood-Paley theorem: the first Fourier analytic, and the second probabilistic.