Differential Geometry of Foliations: The Fundamental Integrability Problem

هر کسی که هستید! چگونه می توانم جز برگ های الهی به تو تقدیم کنم . . . ? والت ویتمن هدف مطالعه در هندسه دیفرانسیل مدرن یک منیفولد با ساختار متفاوت و معمولاً ساختار اضافی است. بنابراین، یک فضای توپولوژیکی M و یک خانواده از همومورفیسم ها، به نام سیستم مختصات، بین زیرمجموعه های باز فضا و زیر مجموعه های باز یک فضای برداری واقعی V داده می شود. فرض بر این است که در جایی که دو حوزه با هم همپوشانی دارند، تصاویر با یکدیگر مرتبط هستند. یک دیفئومورفیسم، به نام تبدیل مختصات، بین زیرمجموعه های باز V. M یک بسته مماس را با آن مرتبط کرده است که یک بسته بردار با فیبر V است و گروه خطی عمومی GL(V) را گروه می کند. ساختارهای اضافی که رخ می‌دهند عبارتند از معیارهای ریمانی، اتصالات، ساختارهای پیچیده، برگ‌ها و بسیاری موارد دیگر. غالباً کاهش گروه دسته مماس به زیرگروه G GL(V) با ساختار مرتبط است. به ویژه خوشایند است اگر بتوان سیستم های مختصات را طوری انتخاب کرد که ماتریس های ژاکوبین تبدیل مختصات به G تعلق داشته باشند. کاهش به G ساختار G نامیده می شود که اگر شرایط ژاکوبین ها انتگرال پذیر (یا مسطح) نامیده می شود. راضی. قدرت فرضیه یکپارچگی به خوبی توسط مورد گروه متعامد On نشان داده شده است. یک ساختار On-Strature با انتخاب یک متریک ریمانی داده می‌شود و بنابراین در هر چندمنیفولد صاف وجود دارد.

Whoever you are! How can I but offer you divine leaves . . . ? Walt Whitman The object of study in modern differential geometry is a manifold with a differ­ ential structure, and usually some additional structure as well. Thus, one is given a topological space M and a family of homeomorphisms, called coordinate sys­ tems, between open subsets of the space and open subsets of a real vector space V. It is supposed that where two domains overlap, the images are related by a diffeomorphism, called a coordinate transformation, between open subsets of V. M has associated with it a tangent bundle, which is a vector bundle with fiber V and group the general linear group GL(V). The additional structures that occur include Riemannian metrics, connections, complex structures, foliations, and many more. Frequently there is associated to the structure a reduction of the group of the tangent bundle to some subgroup G of GL(V). It is particularly pleasant if one can choose the coordinate systems so that the Jacobian matrices of the coordinate transformations belong to G. A reduction to G is called a G-structure, which is called integrable (or flat) if the condition on the Jacobians is satisfied. The strength of the integrability hypothesis is well-illustrated by the case of the orthogonal group On. An On-structure is given by the choice of a Riemannian metric, and therefore exists on every smooth manifold.