Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations

15 0. مقدمات الف) نمادهای تئوری منیفولد ب) زبان منیفولدهای جت ج) منیفولدهای فریم د) تفاوت! ایده آل ها ه) سیستم های دیفرانسیل خارجی معادلات اویلر-لاگرانژ برای سیستم های دیفرانسیل ~liTH ONE I. 32 متغیر مستقل الف) تنظیم مسئله. مثال‌های کلاسیک ب) معادلات متغیر برای منیفولدهای انتگرال سیستم‌های دیفرانسیل ج) سیستم‌های دیفرانسیل در شکل خوب. پرچم مشتق شده، ویژگی های کوشی، و طولانی شدن سیستم های دیفرانسیل بیرونی د) استخراج معادلات اویلر-لاگرانژ. مثال ه) سیستم دیفرانسیل اویلر-لاگرانژ. مشکلات متغیر غیر منحط؛ مثالها انتگرالهای اول سیستم اویلر-لاگرانژ. NOETHER'S II. 1D7 قضیه و مثالها الف) انتگرالهای اول و قضیه نوتر. چند نمونه کلاسیک؛ مسائل تغییرات جبری قابل ادغام با ربع ب) بررسی سیستم اویلر-لاگرانژ برای برخی از مسائل تغییرات هندسی دیفرانسیل: 2 i) (K ds برای منحنی های صفحه؛ i) طول کمان افین. 2 iii) f K ds برای منحنی های فضایی. و IV) مشکل دلونی. II I. معادلات اویلر برای مسائل متغیر در فضاهای همگن 161 الف) استخراج معادلات: i) انگیزه. i) بررسی پرونده کلاسیک. iii) معادلات اویلر نسل 1 2 K /2 ds ب) مثالها: i) معادلات اویلر مرتبط با f برای lEn. اما برای منحنی ها در i i) برخی مشکلات مانند i) sn; غیر منحنی در iii) معادلات اویلر مرتبط با سطوح منحط IV.

15 0. PRELIMINARIES a) Notations from Manifold Theory b) The Language of Jet Manifolds c) Frame Manifolds d) Differentia! Ideals e) Exterior Differential Systems EULER-LAGRANGE EQUATIONS FOR DIFFERENTIAL SYSTEMS ~liTH ONE I. 32 INDEPENDENT VARIABLE a) Setting up the Problem; Classical Examples b) Variational Equations for Integral Manifolds of Differential Systems c) Differential Systems in Good Form; the Derived Flag, Cauchy Characteristics, and Prolongation of Exterior Differential Systems d) Derivation of the Euler-Lagrange Equations; Examples e) The Euler-Lagrange Differential System; Non-Degenerate Variational Problems; Examples FIRST INTEGRALS OF THE EULER-LAGRANGE SYSTEM; NOETHER'S II. 1D7 THEOREM AND EXAMPLES a) First Integrals and Noether's Theorem; Some Classical Examples; Variational Problems Algebraically Integrable by Quadratures b) Investigation of the Euler-Lagrange System for Some Differential-Geometric Variational Pro~lems: 2 i) ( K ds for Plane Curves; i i) Affine Arclength; 2 iii) f K ds for Space Curves; and iv) Delauney Problem. II I. EULER EQUATIONS FOR VARIATIONAL PROBLEfiJS IN HOMOGENEOUS SPACES 161 a) Derivation of the Equations: i) Motivation; i i) Review of the Classical Case; iii) the Genera 1 Euler Equations 2 K /2 ds b) Examples: i) the Euler Equations Associated to f for lEn; but for Curves in i i) Some Problems as in i) sn; Non- Curves in iii) Euler Equations Associated to degenerate Ruled Surfaces IV.