Methods and Applications of Error-Free Computation

این کتاب به عنوان مقدمه ای بر تئوری محاسبات بدون خطا نوشته شده است. علاوه بر این، ما چندین فصل را شامل می‌شویم که نشان می‌دهد چگونه محاسبات بدون خطا را می‌توان در عمل به کار برد. این کتاب برای سالمندان و دانشجویان سال اول تحصیلات تکمیلی در رشته های تحصیلی شامل محاسبات علمی با استفاده از رایانه های دیجیتال و برای محققان (در همان زمینه ها) که مایل به کسب مقدمه ای در مورد این موضوع هستند در نظر گرفته شده است. ما از این واقعیت انگیزه داریم که کلاس‌های بزرگی از مسائل بدشرطی وجود دارد، و الگوریتم‌های عددی ناپایدار وجود دارد، و در هر یک یا هر دوی این موقعیت‌ها، نمی‌توانیم خطاهای گرد کردن را در طول محاسبات عددی درگیر در دستیابی به راه‌حل‌های مسائل تحمل کنیم. بنابراین، مطالعه سیستم‌های اعداد محدود برای رایانه‌های دیجیتالی که این ویژگی را دارند که محاسبات را می‌توان بدون خطاهای گرد کردن انجام داد، مهم است. در فصل اول، سیستم های اعداد باقیمانده تک مدول و چند مدول و محاسبات در این سیستم ها را مورد بحث قرار می دهیم، جایی که عملوندها ممکن است اعداد صحیح یا گویا باشند. در فصل دوم، سیستم‌های اعداد p-adic بخش محدود و رابطه آنها با اعداد p-adic هنسل [1908] را مورد بحث قرار می‌دهیم. به هر عدد گویا در یک مجموعه محدود معین، یک کد هنسل منحصربفرد اختصاص داده می‌شود و عملیات حسابی با استفاده از کدهای هنسل به‌عنوان عملوند، از نظر ریاضی معادل همان عملیات‌های حسابی با استفاده از اعداد گویا به‌عنوان عملوند است. محاسبات p-adic بخش محدود این ویژگی را با حساب باقیمانده به اشتراک می‌گذارد که عاری از خطاهای گرد کردن است.

This book is written as an introduction to the theory of error-free computation. In addition, we include several chapters that illustrate how error-free com­ putation can be applied in practice. The book is intended for seniors and first­ year graduate students in fields of study involving scientific computation using digital computers, and for researchers (in those same fields) who wish to obtain an introduction to the subject. We are motivated by the fact that there are large classes of ill-conditioned problems, and there are numerically unstable algorithms, and in either or both of these situations we cannot tolerate rounding errors during the numerical computations involved in obtaining solutions to the problems. Thus, it is important to study finite number systems for digital computers which have the property that computation can be performed free of rounding errors. In Chapter I we discuss single-modulus and multiple-modulus residue number systems and arithmetic in these systems, where the operands may be either integers or rational numbers. In Chapter II we discuss finite-segment p-adic number systems and their relationship to the p-adic numbers of Hensel [1908]. Each rational number in a certain finite set is assigned a unique Hensel code and arithmetic operations using Hensel codes as operands is mathe­ matically equivalent to those same arithmetic operations using the cor­ responding rational numbers as operands. Finite-segment p-adic arithmetic shares with residue arithmetic the property that it is free of rounding errors.