Entire Functions of Several Complex Variables

I - کل توابع چندین متغیر مختلط یک فصل مهم و اصلی در تحلیل مختلط را تشکیل می دهند. این مطالعه اغلب به دلیل کاربردهای خاصی برای مسائل خاص در سایر زمینه‌های ریاضیات انجام می‌شود: معادلات دیفرانسیل جزئی از طریق تبدیل فوریه-لاپلاس و عملگرهای کانولوشن، نظریه اعداد تحلیلی و مسائل ماورایی، یا نظریه تقریب، فقط برای نام بردن چند مورد. آنچه برای این کاربردها مهم است یافتن راه حل هایی است که شرایط رشد خاصی را برآورده کند. مسئله خاص ذاتاً مقیاس رشد را تعریف می‌کند، و فرد به دنبال راه‌حلی برای مشکل است که شرایط رشد معینی را در این مقیاس برآورده می‌کند، و گاهی اوقات راه‌حل‌هایی با حداقل رشد نامتعارف یا راه‌حل‌های بهینه به نوعی. برای یک متغیر مختلط، مطالعه راه‌حل‌ها با شرایط رشد، هسته نظریه کلاسیک کل توابع را تشکیل می‌دهد و از نظر تاریخی، رابطه بین تعداد صفرهای کل تابع f(z) یک متغیر مختلط و رشد اگر I (یا معادل آن log If I) اولین نمونه از مطالعه سیستماتیک شرایط رشد در یک محیط کلی بود. مسائل مربوط به شرایط رشد در راه حل ها به اطلاعات بسیار دقیق تری نسبت به قضایای وجود نیاز دارند. تطابق بین دو مقیاس رشد را می توان اغلب به عنوان تناظر بین خانواده های مجموعه های محدود در فضاهای فریشت خاص تفسیر کرد. با این حال، برای برنامه های کاربردی، توسعه نمایش دقیق و صریح راه حل ها بسیار مهم است.

I - Entire functions of several complex variables constitute an important and original chapter in complex analysis. The study is often motivated by certain applications to specific problems in other areas of mathematics: partial differential equations via the Fourier-Laplace transformation and convolution operators, analytic number theory and problems of transcen­ dence, or approximation theory, just to name a few. What is important for these applications is to find solutions which satisfy certain growth conditions. The specific problem defines inherently a growth scale, and one seeks a solution of the problem which satisfies certain growth conditions on this scale, and sometimes solutions of minimal asymp­ totic growth or optimal solutions in some sense. For one complex variable the study of solutions with growth conditions forms the core of the classical theory of entire functions and, historically, the relationship between the number of zeros of an entire function f(z) of one complex variable and the growth of If I (or equivalently log If I) was the first example of a systematic study of growth conditions in a general setting. Problems with growth conditions on the solutions demand much more precise information than existence theorems. The correspondence between two scales of growth can be interpreted often as a correspondence between families of bounded sets in certain Frechet spaces. However, for applications it is of utmost importance to develop precise and explicit representations of the solutions.