On Spectral Theory of Elliptic Operators

به خوبی شناخته شده است که انبوهی از مسائل با ماهیت متفاوت، کاربردی و همچنین نظری محض، را می توان به مطالعه معادلات بیضوی و مقادیر ویژه آنها تقلیل داد. در طول سال‌ها کتاب‌ها و مقالات زیادی در این زمینه منتشر شده است که ویژگی‌های طیفی عملگرهای دیفرانسیل بیضوی را از دیدگاه‌های مختلف در نظر گرفته است. این یک کتاب دیگر در مورد این خواص است. این کتاب به بررسی برخی مسائل کلاسیک نظریه طیفی معادلات دیفرانسیل بیضوی اختصاص یافته است. خواننده به سختی می تواند با کتاب های شوبین [ش] یا رمپل-شولزه [ReSch] یا با آثار ذکر شده در آنجا تلاقی پیدا کند. این کتاب همچنین هیچ اطلاعات کلی مشترکی با کتاب‌های اگوروف و شوبین [EgShu] که به خواص طیفی عملگرهای بیضوی نیز می‌پردازند، ندارد. در اینجا چیزی در مورد مسائل مشتق مورب وجود ندارد. خواننده هیچ عملگر شبه دیفرانسیل را ملاقات نخواهد کرد. موضوع اصلی کتاب تخمین مقادیر ویژه، به‌ویژه اولی، و توابع ویژه عملگرهای بیضوی است. مسائل در نظر گرفته شده در رویکرد متشکل از کاربرد اصل تغییرات و برخی برآوردهای پیشینی، معمولاً در فضاهای سوبولف، مشترک هستند. در بسیاری از موارد، که برای فیزیک و مکانیک، و همچنین برای هندسه و تجزیه و تحلیل مهم است، این رویکرد نسبتاً ابتدایی به فرد اجازه می‌دهد تا نتایج واضحی به دست آورد.

It is well known that a wealth of problems of different nature, applied as well as purely theoretic, can be reduced to the study of elliptic equations and their eigen-values. During the years many books and articles have been published on this topic, considering spectral properties of elliptic differential operators from different points of view. This is one more book on these properties. This book is devoted to the study of some classical problems of the spectral theory of elliptic differential equations. The reader will find hardly any intersections with the books of Shubin [Sh] or Rempel-Schulze [ReSch] or with the works cited there. This book also has no general information in common with the books by Egorov and Shubin [EgShu], which also deal with spectral properties of elliptic operators. There is nothing here on oblique derivative problems; the reader will meet no pseudodifferential operators. The main subject of the book is the estimates of eigenvalues, especially of the first one, and of eigenfunctions of elliptic operators. The considered problems have in common the approach consisting of the application of the variational principle and some a priori estimates, usually in Sobolev spaces. In many cases, impor­ tant for physics and mechanics, as well as for geometry and analysis, this rather elementary approach allows one to obtain sharp results.