High Dimensional Probability

احتمال ابعادی بالا چیست؟ تحت این نام گسترده، ما موضوعاتی را با یک فلسفه مشترک جمع‌آوری می‌کنیم، جایی که ایده بعد بالا نقش کلیدی دارد، چه در مسئله یا در روش‌هایی که به آن نزدیک می‌شود. اجازه دهید یک مثال خاص که می تواند بلافاصله درک شود، مثالی از فرآیندهای گاوسی ارائه می دهیم. به طور کلی، قبل از سال 1970، فرآیندهای گاوسی که مورد مطالعه قرار گرفتند توسط زیرمجموعه ای از فضای اقلیدسی، عمدتاً با ابعاد حداکثر سه، نمایه شدند. با فرض برخی نظم در کوواریانس، سعی شد از ساختار مجموعه شاخص استفاده کرد. در حوالی سال 1970، به ویژه توسط دادلی، فلدمن، گراس و سگال دریافتند که دیدگاه انتزاعی و درونی بسیار پربارتر است. مجموعه شاخص دیگر به‌عنوان زیرمجموعه فضای اقلیدسی در نظر گرفته نمی‌شود، بلکه صرفاً به‌عنوان یک فضای متریک با متریک به طور متعارف توسط این فرآیند القا می‌شود. این تغییر دیدگاه متعاقباً منجر به روشن شدن قابل توجه بسیاری از جنبه‌های نظریه فرآیند گاوسی و همچنین کاربردهای آن در سایر تنظیمات شد.

What is high dimensional probability? Under this broad name we collect topics with a common philosophy, where the idea of high dimension plays a key role, either in the problem or in the methods by which it is approached. Let us give a specific example that can be immediately understood, that of Gaussian processes. Roughly speaking, before 1970, the Gaussian processes that were studied were indexed by a subset of Euclidean space, mostly with dimension at most three. Assuming some regularity on the covariance, one tried to take advantage of the structure of the index set. Around 1970 it was understood, in particular by Dudley, Feldman, Gross, and Segal that a more abstract and intrinsic point of view was much more fruitful. The index set was no longer considered as a subset of Euclidean space, but simply as a metric space with the metric canonically induced by the process. This shift in perspective subsequently lead to a considerable clarification of many aspects of Gaussian process theory, and also to its applications in other settings.