Relative Equilibria of the Curved N-Body Problem

چراغ راهنمای این تک نگاری سوالی است که درک آن آسان اما پاسخ به آن دشوار است: {شکل جهان چیست؟ به عبارت دیگر، چگونه کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه از فضای فیزیکی را اندازه گیری کنیم؟ آیا باید مانند روی یک میز صاف، یک خط مستقیم را دنبال کنیم، مانند بین پاریس و نیویورک در امتداد یک دایره پرواز کنیم، یا مسیر دیگری را طی کنیم، و اگر چنین است، آن مسیر چگونه خواهد بود؟ اگر بپذیرید که مدل پیشنهاد شده در اینجا، که یک قانون گرانشی را به جهانی با انحنای ثابت فرض می‌کند، تقریب خوبی از واقعیت فیزیکی است (و من بعداً چند استدلال در این راستا بیان خواهم کرد)، می‌توانیم به موارد فوق پاسخ دهیم. سوال برای فواصل قابل مقایسه با منظومه شمسی ما. به‌طور دقیق‌تر، این تک‌نگاره یک اثبات ریاضی ارائه می‌دهد که برای فواصل مرتبه 10 AU، فضا اقلیدسی است. این نتیجه البته برای چنین مقیاس های کیهانی کوچکی تعجب آور نیست. فیزیکدانان مسطح بودن فضا را در مناطقی با آن اندازه بدیهی می دانند. اما خوب است که بالاخره یک تایید ریاضی به این معنا داشته باشیم. اهداف اصلی ما اما ریاضی است. ما کمی به دینامیک جرم‌های نقطه‌ای N که در فضاهایی با انحنای ثابت غیرصفر حرکت می‌کنند، بر اساس قانون جذب که به طور طبیعی گرانش نیوتنی کلاسیک را فراتر از فضای مسطح (اقلیدسی) گسترش می‌دهد، روشن خواهیم کرد. این بسط توسط پتانسیل هم‌تجانس ارائه شده توسط ریاضی‌دان آلمانی ارنست شرینگ در سال 1870 ارائه می‌شود. اثر نیکلای لوباچفسکی از آنجایی که ایده نیوتن از گرانش این بود که نیرویی معکوس با مساحت یک کره متناسب با شعاع فاصله اقلیدسی بین اجسام معرفی کند، بولیایی و لوباچفسکی با استفاده از فاصله هذلولی در فضای هذلولی به تعریف مشابهی فکر کردند. تعمیم اخیری که ما به پتانسیل همتجانس به هر تعداد N از اجسام دادیم، منجر به کشف برخی از خواص جالب شد. این تحقیق جدید ارتباطات معینی را بین حداقل پنج شاخه از ریاضیات نشان می دهد: دینامیک کلاسیک، هندسه غیر اقلیدسی، توپولوژی هندسی، گروه های دروغ، و نظریه چند توپ.

The guiding light of this monograph is a question easy to understand but difficult to answer: {What is the shape of the universe? In other words, how do we measure the shortest distance between two points of the physical space? Should we follow a straight line, as on a flat table, fly along a circle, as between Paris and New York, or take some other path, and if so, what would that path look like? If you accept that the model proposed here, which assumes a gravitational law extended to a universe of constant curvature, is a good approximation of the physical reality (and I will later outline a few arguments in this direction), then we can answer the above question for distances comparable to those of our solar system. More precisely, this monograph provides a mathematical proof that, for distances of the order of 10 AU, space is Euclidean. This result is, of course, not surprising for such small cosmic scales. Physicists take the flatness of space for granted in regions of that size. But it is good to finally have a mathematical confirmation in this sense. Our main goals, however, are mathematical. We will shed some light on the dynamics of N point masses that move in spaces of non-zero constant curvature according to an attraction law that naturally extends classical Newtonian gravitation beyond the flat (Euclidean) space. This extension is given by the cotangent potential, proposed by the German mathematician Ernest Schering in 1870. He was the first to obtain this analytic expression of a law suggested decades earlier for a 2-body problem in hyperbolic space by Janos Bolyai and, independently, by Nikolai Lobachevsky. As Newton's idea of gravitation was to introduce a force inversely proportional to the area of a sphere the same radius as the Euclidean distance between the bodies, Bolyai and Lobachevsky thought of a similar definition using the hyperbolic distance in hyperbolic space. The recent generalization we gave to the cotangent potential to any number N of bodies, led to the discovery of some interesting properties. This new research reveals certain connections among at least five branches of mathematics: classical dynamics, non-Euclidean geometry, geometric topology, Lie groups, and the theory of polytopes.