Balanced Silverman Games on General Discrete Sets

بازی سیلورمن یک بازی دو نفره مجموع صفر است که بر اساس دو مجموعه S I و S II از اعداد مثبت و دو پارامتر، آستانه T > 1 و پنالتی v > 0 تعریف شده است. بازیکنان I و II به طور مستقل اعداد را به ترتیب از S I و S II انتخاب کنید. عدد بالاتر برنده 1 می شود، مگر اینکه حداقل T برابر عدد دیگر باشد، در این صورت در مقابل اعداد مساوی مساوی می شود. چنین بازی‌ای ممکن است برای مدل‌سازی موقعیت‌های مختلف مناقصه یا هزینه استفاده شود که در برخی از محدوده‌ها، پیشنهاددهنده بالاتر یا خرج‌کننده بزرگ‌تر برنده می‌شود، اما اگر بیش از حد انجام شود، بازنده است. چنین شرایطی ممکن است شامل هزینه های تسلیحاتی، هزینه های تبلیغاتی یا پیشنهادات مهر و موم شده در یک حراجی باشد. کارهای قبلی عمدتاً به موارد خاص پرداخته است. در این کار پیشرفت اخیر برای مجموعه های گسسته دلخواه S I و S II ارائه شده است. در شرایط کاملاً کلی، این بازی‌ها به بازی‌های ماتریس محدود کاهش می‌یابند. دسته بزرگی از بازی‌ها کاملاً با قطر ماتریس تعیین می‌شوند و نشان داده می‌شود که چگونه اکثریت بزرگ این بازی‌ها استراتژی‌های بهینه منحصربه‌فردی دارند. این کار برای همه کسانی که با تئوری بازی های غیرهمکاری اولیه آشنا هستند در دسترس است.

A Silverman game is a two-person zero-sum game defined in terms of two sets S I and S II of positive numbers, and two parameters, the threshold T > 1 and the penalty v > 0. Players I and II independently choose numbers from S I and S II, respectively. The higher number wins 1, unless it is at least T times as large as the other, in which case it loses v. Equal numbers tie. Such a game might be used to model various bidding or spending situations in which within some bounds the higher bidder or bigger spender wins, but loses if it is overdone. Such situations may include spending on armaments, advertising spending or sealed bids in an auction. Previous work has dealt mainly with special cases. In this work recent progress for arbitrary discrete sets S I and S II is presented. Under quite general conditions, these games reduce to finite matrix games. A large class of games are completely determined by the diagonal of the matrix, and it is shown how the great majority of these appear to have unique optimal strategies. The work is accessible to all who are familiar with basic noncooperative game theory.