Fatou Type Theorems: Maximal Functions and Approach Regions

یک اصل اساسی حاکم بر رفتار مرزی توابع هولومورفیک (و توابع هارمونیک) این است: در شرایط رشد معین، تقریباً برای هر نقطه در مرز دامنه، این توابع یک حد مرزی دارند، اگر به نقطه مرزی در مناطق نزدیک خاص به عنوان مثال، برای توابع هارمونیک محدود در دیسک واحد باز، مناطق رویکرد طبیعی مثلث های غیر مماسی با یک راس در نقطه مرزی هستند و به طور کامل در دیسک [Fat06] قرار دارند. در واقع، این مناطق رویکرد طبیعی بهینه هستند، به این معنا که اگر به مرز در داخل مناطق بزرگتر نزدیک شویم، همگرایی با شکست مواجه خواهد شد و مرتبه تماس بالاتری با مرز دارد. اولین قضیه از این نوع ناشی از J. E. Littlewood [Lit27] است، که ثابت کرد اگر یک ناحیه غیر مماسی را با چرخش هر منحنی مماسی ثابت جایگزین کنیم، همگرایی با شکست مواجه می شود. در سال 1984، A. Nagel و E. M. Stein ثابت کردند که در نیمه فضاهای اقلیدسی (و دیسک واحد) در واقع نواحی همگرایی وجود دارد که غیر مماسی نیستند: این نواحی نزدیکتر بزرگتر حاوی دنباله های مماسی هستند (برخلاف منحنی های مماسی). پدیده کشف شده توسط Nagel و Stein نشان می دهد که رفتار مرزی توابع هومور (و توابع هارمونیک)، در قضایای نوع فاتو، توسط یک اصل دوم تنظیم می شود، که وجود مناطق همگرایی را پیش بینی می کند که به طور متوالی بزرگتر از طبیعی.

A basic principle governing the boundary behaviour of holomorphic func­ tions (and harmonic functions) is this: Under certain growth conditions, for almost every point in the boundary of the domain, these functions ad­ mit a boundary limit, if we approach the bounda-ry point within certain approach regions. For example, for bounded harmonic functions in the open unit disc, the natural approach regions are nontangential triangles with one vertex in the boundary point, and entirely contained in the disc [Fat06]. In fact, these natural approach regions are optimal, in the sense that convergence will fail if we approach the boundary inside larger regions, having a higher order of contact with the boundary. The first theorem of this sort is due to J. E. Littlewood [Lit27], who proved that if we replace a nontangential region with the rotates of any fixed tangential curve, then convergence fails. In 1984, A. Nagel and E. M. Stein proved that in Euclidean half­ spaces (and the unit disc) there are in effect regions of convergence that are not nontangential: These larger approach regions contain tangential sequences (as opposed to tangential curves). The phenomenon discovered by Nagel and Stein indicates that the boundary behaviour of ho)omor­ phic functions (and harmonic functions), in theorems of Fatou type, is regulated by a second principle, which predicts the existence of regions of convergence that are sequentially larger than the natural ones.