Laws of Chaos: Invariant Measures and Dynamical Systems in One Dimension

صد سال پیش مشخص شد که سیستم های قطعی می توانند رفتار بسیار پیچیده ای از خود نشان دهند. پوانکار با اثبات اینکه معادلات دیفرانسیل معمولی می توانند رفتار عجیبی از خود نشان دهند، پایه های فیزیک نیوتنی را تضعیف کرد و دریچه ای را به روی نظریه مدرن دینامیک غیرخطی و آشوب گشود. اگرچه در دهه‌های 1930 و 1940 رفتار عجیبی در بسیاری از سیستم‌های فیزیکی مشاهده شد، اما این تصور که این پدیده ذاتی در سیستم‌های قطعی است هرگز مطرح نشد. حتی با نتایج قدرتمند S. Smale در دهه 1960، رفتار پیچیده سیستم های قطعی چیزی بیش از یک کنجکاوی ریاضی باقی نماند. تا اواخر دهه 1970، با ظهور رایانه‌های سریع و ارزان، تشخیص داده نشد که رفتارهای آشفته تقریباً در همه حوزه‌های علم و فناوری وجود دارد. نعل اسب های کوچک در بسیاری از زمینه های علمی ظاهر شدند. در سال 1971، عبارت "جاذب عجیب" برای توصیف رفتار طولانی مدت پیچیده سیستم های قطعی ابداع شد و این اصطلاح به سرعت به پارادایم دینامیک غیرخطی تبدیل شد. ابزارهای مورد نیاز برای مطالعه پدیده های آشفته کاملاً متفاوت از ابزارهایی هستند که برای مطالعه سیستم های دوره ای یا شبه تناوبی استفاده می شوند. این ابزارها بیشتر تحلیلی و نظری اندازه گیری هستند تا هندسی. به عنوان مثال، در پرتاب یک قالب، می‌توانیم رفتار محدودکننده سیستم را با مشاهده رفتار بلندمدت تک تک مدارها مطالعه کنیم. این رفتار پیچیده غیر قابل درک را نشان می دهد. یا می توانیم دیدگاه خود را تغییر دهیم: به جای اینکه خود نتایج بلندمدت را مشاهده کنیم، می توانیم احتمالات این نتایج را مشاهده کنیم. این رویکرد تئوری اندازه گیری در این کتاب است.

A hundred years ago it became known that deterministic systems can exhibit very complex behavior. By proving that ordinary differential equations can exhibit strange behavior, Poincare undermined the founda­ tions of Newtonian physics and opened a window to the modern theory of nonlinear dynamics and chaos. Although in the 1930s and 1940s strange behavior was observed in many physical systems, the notion that this phenomenon was inherent in deterministic systems was never suggested. Even with the powerful results of S. Smale in the 1960s, complicated be­ havior of deterministic systems remained no more than a mathematical curiosity. Not until the late 1970s, with the advent of fast and cheap comput­ ers, was it recognized that chaotic behavior was prevalent in almost all domains of science and technology. Smale horseshoes began appearing in many scientific fields. In 1971, the phrase 'strange attractor' was coined to describe complicated long-term behavior of deterministic systems, and the term quickly became a paradigm of nonlinear dynamics. The tools needed to study chaotic phenomena are entirely different from those used to study periodic or quasi-periodic systems; these tools are analytic and measure-theoretic rather than geometric. For example, in throwing a die, we can study the limiting behavior of the system by viewing the long-term behavior of individual orbits. This would reveal incomprehensibly complex behavior. Or we can shift our perspective: Instead of viewing the long-term outcomes themselves, we can view the probabilities of these outcomes. This is the measure-theoretic approach taken in this book.