Conjugate Duality and the Exponential Fourier Spectrum

برای برخی از زمینه ها مانند اقتصاد سنجی (شور، 1980)، اکتشاف نفت (کلربوت، 1976)، تشخیص گفتار (لوینسون و لیبرمن، 1981)، نظارت ماهواره ای (لاورگنات و همکاران، 1980)، تشخیص صرع (گرش و تارپ) ، 1977) و فیزیک پلاسما (Bloomfield، 1976)، به منظور دستیابی به حداقل درک خام از محتوای فرکانس داده های سری زمانی، نیاز به تخمینی از چگالی طیفی (در صورت وجود) وجود دارد. یک آموزش برجسته در مورد مسئله کلاسیک تخمین چگالی طیفی توسط کی و مارپل (1981) ارائه شده است. برای مجموعه ای عالی از مقالات بنیادی که با تخمین چگالی طیفی مدرن سروکار دارند و همچنین کتابشناسی گسترده در زمینه های دیگر کاربرد، به Childers (1978) مراجعه کنید. برای ابداع یک برآوردگر چگالی طیفی نمونه با کارایی بالا، باید یک مبنای منطقی برای ساخت آن ایجاد کرد، یک الگوریتم عملی ارائه کرد و عملکرد آن را با توجه به معیارهای تجویز شده نشان داد. یک الگوریتم مطمئناً امکان پذیر است که بتوان آن را بر روی یک کامپیوتر پیاده سازی کرد، دارای کارایی محاسباتی (که با تجزیه و تحلیل پیچیدگی محاسباتی اندازه گیری می شود) و پایداری عددی را نشان دهد. اگر تخمین‌گر نسبت به نقض مفروضات اساسی خود حساس نباشد (به عنوان مثال، قوی) عملکرد بالایی نشان می‌دهد، به طور مداوم وضوح فرکانس عالی را تحت اندازه‌های نمونه واقعی و نسبت‌های توان سیگنال به نویز نشان می‌دهد، دارای نرخ عددی قابل اثبات همگرایی با جمعیت واقعی است. چگالی طیفی، و/یا از ویژگی‌های آماری نامشخص قابل اثبات مانند سازگاری و کارایی برخوردار است.

For some fields such as econometrics (Shore, 1980), oil prospecting (Claerbout, 1976), speech recognition (Levinson and Lieberman, 1981), satellite monitoring (Lavergnat et al., 1980), epilepsy diagnosis (Gersch and Tharp, 1977), and plasma physics (Bloomfield, 1976), there is a need to obtain an estimate of the spectral density (when it exists) in order to gain at least a crude understanding of the frequency content of time series data. An outstanding tutorial on the classical problem of spectral density estimation is given by Kay and Marple (1981). For an excellent collection of fundamental papers dealing with modern spec­ tral density estimation as well as an extensive bibliography on other fields of application, see Childers (1978). To devise a high-performance sample spectral density estimator, one must develop a rational basis for its construction, provide a feasible algorithm, and demonstrate its performance with respect to prescribed criteria. An algorithm is certainly feasible if it can be implemented on a computer, possesses computational efficiency (as measured by compu­ tational complexity analysis), and exhibits numerical stability. An estimator shows high performance if it is insensitive to violations of its underlying assumptions (i.e., robust), consistently shows excellent frequency resolutipn under realistic sample sizes and signal-to-noise power ratios, possesses a demonstrable numerical rate of convergence to the true population spectral density, and/or enjoys demonstrable asymp­ totic statistical properties such as consistency and efficiency.