Non-Commutative Valuation Rings and Semi-Hereditary Orders

در دهه گذشته پیشرفت های زیادی در مورد حلقه های ارزش گذاری غیر تعویضی و نظم های نیمه ارثی و پریفر در یک حلقه آرتینی ساده حاصل شده است که به نوعی به عنوان نظریه های جهانی غیرتعویض در نظر گرفته می شوند. حلقه های ارزش گذاری بنابراین شایسته است که به بررسی موضوعات به صورت خودکفا پرداخته شود که هدف این کتاب نیز همین است. حلقه‌های ارزش‌گذاری غیرقابل تعویض حلقه‌های تقسیم‌بندی برای اولین بار به طور سیستماتیک در کتاب شیلینگ [Sc] مورد بررسی قرار گرفت، که امروزه حلقه‌های ارزش‌گذاری ثابت نامیده می‌شوند، اگرچه حلقه‌های ارزش‌گذاری ثابت را می‌توان به کار هاس در [Has] ردیابی کرد. از آن زمان، تلاش‌های مختلفی برای مطالعه نظریه ایده‌آل نظم‌ها در جبرهای بعد محدود بر روی میدان‌ها و توصیف گروه‌های Brauer از فیلدها با استفاده از \"ارزش‌گذاری\"، \"مکان\"، \"پیش‌مکان‌ها\" انجام شده است. \"توابع ارزش\" و \"شبه مکان ها\". در سال 1984، N. 1. Dubrovin حلقه های ارزش گذاری غیر تعویضی حلقه های آرتینی ساده را با مفهوم مکان هایی در رده حلقه های آرتینی ساده تعریف کرد و نتایج قابل توجهی در مورد حلقه های ارزش گذاری غیر تعویضی (به نام حلقه های ارزش گذاری دوبروین به نام او) به دست آورد که نشان می دهد که این حلقه ها ممکن است تعریف صحیح حلقه های ارزش گذاری حلقه های آرتینی ساده باشند. با این حال، حلقه‌های ارزش‌گذاری دوبروین جبرهای ساده مرکزی بر روی میدان‌ها، لزوماً روی مراکز آنها یکپارچه نیستند.

Much progress has been made during the last decade on the subjects of non­ commutative valuation rings, and of semi-hereditary and Priifer orders in a simple Artinian ring which are considered, in a sense, as global theories of non-commu­ tative valuation rings. So it is worth to present a survey of the subjects in a self-contained way, which is the purpose of this book. Historically non-commutative valuation rings of division rings were first treat­ ed systematically in Schilling's Book [Sc], which are nowadays called invariant valuation rings, though invariant valuation rings can be traced back to Hasse's work in [Has]. Since then, various attempts have been made to study the ideal theory of orders in finite dimensional algebras over fields and to describe the Brauer groups of fields by usage of "valuations", "places", "preplaces", "value functions" and "pseudoplaces". In 1984, N. 1. Dubrovin defined non-commutative valuation rings of simple Artinian rings with notion of places in the category of simple Artinian rings and obtained significant results on non-commutative valuation rings (named Dubrovin valuation rings after him) which signify that these rings may be the correct def­ inition of valuation rings of simple Artinian rings. Dubrovin valuation rings of central simple algebras over fields are, however, not necessarily to be integral over their centers.