Stochastic Simulation and Monte Carlo Methods: Mathematical Foundations of Stochastic Simulation

در زمینه‌های مختلف علمی و صنعتی، شبیه‌سازی تصادفی اهمیت جدیدی پیدا می‌کند. این به دلیل افزایش قدرت رایانه‌ها و هدف متخصصان برای شبیه‌سازی سیستم‌های پیچیده‌تر و بیشتر و در نتیجه استفاده از پارامترهای تصادفی و همچنین نویزهای تصادفی برای مدل‌سازی عدم قطعیت‌های پارامتری و کمبود دانش در مورد فیزیک این سیستم‌ها است. تحلیل خطای این محاسبات یک کار ریاضی بسیار پیچیده است. با نزدیک شدن به این مسائل، نویسندگان روش‌های عددی تصادفی را ارائه می‌کنند و تخمین‌های دقیق نرخ همگرایی را از نظر پارامترهای عددی (تعداد شبیه‌سازی، مراحل گسسته‌سازی زمان) اثبات می‌کنند. در نتیجه، این کتاب یک مطالعه مستقل و دقیق از روش‌های عددی در چارچوب نظری است. پس از بررسی مختصر مبانی، نویسندگان ابتدا مفاهیم اساسی در حساب تصادفی و نظریه مارتینگل زمان پیوسته را معرفی کردند، سپس تجزیه و تحلیل فرآیندهای مارکوف پرش خالص، فرآیندهای پواسون و معادلات دیفرانسیل تصادفی را توسعه دادند. به طور خاص، آنها خواص اساسی انتگرال های Itô را بررسی می کنند و نتایج بنیادی را در مورد تحلیل احتمالی معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی اثبات می کنند. این نتایج به نوبه خود مبنایی را برای توسعه روش‌های عددی تصادفی، هم از نظر الگوریتمی و هم از دیدگاه نظری، فراهم می‌کنند.

این کتاب ترکیبی از ابزارهای پیشرفته ریاضی، تحلیل نظری روش‌های عددی تصادفی و مسائل عملی در سطح بالایی است تا نتایج بهینه را در مورد دقت شبیه‌سازی‌های مونت کارلو فرآیندهای تصادفی ارائه دهد. برای کارشناسی ارشد و دکتری در نظر گرفته شده است. دانشجویان در زمینه فرآیندهای تصادفی و کاربردهای عددی آنها، و همچنین برای فیزیکدانان، زیست‌شناسان، اقتصاددانان و سایر متخصصانی که با شبیه‌سازی‌های تصادفی کار می‌کنند، از توانایی تخمین مطمئن و کنترل دقت شبیه‌سازی‌های خود بهره‌مند خواهند شد.

In various scientific and industrial fields, stochastic simulations are taking on a new importance. This is due to the increasing power of computers and practitioners’ aim to simulate more and more complex systems, and thus use random parameters as well as random noises to model the parametric uncertainties and the lack of knowledge on the physics of these systems. The error analysis of these computations is a highly complex mathematical undertaking. Approaching these issues, the authors present stochastic numerical methods and prove accurate convergence rate estimates in terms of their numerical parameters (number of simulations, time discretization steps). As a result, the book is a self-contained and rigorous study of the numerical methods within a theoretical framework. After briefly reviewing the basics, the authors first introduce fundamental notions in stochastic calculus and continuous-time martingale theory, then develop the analysis of pure-jump Markov processes, Poisson processes, and stochastic differential equations. In particular, they review the essential properties of Itô integrals and prove fundamental results on the probabilistic analysis of parabolic partial differential equations. These results in turn provide the basis for developing stochastic numerical methods, both from an algorithmic and theoretical point of view.

The book combines advanced mathematical tools, theoretical analysis of stochastic numerical methods, and practical issues at a high level, so as to provide optimal results on the accuracy of Monte Carlo simulations of stochastic processes. It is intended for master and Ph.D. students in the field of stochastic processes and their numerical applications, as well as for physicists, biologists, economists and other professionals working with stochastic simulations, who will benefit from the ability to reliably estimate and control the accuracy of their simulations.