Groupoids, Inverse Semigroups, and their Operator Algebras

در سال‌های اخیر، به طور فزاینده‌ای روشن شده است که ارتباطات مهمی در رابطه با سه مفهوم وجود دارد - گروه‌نماها، نیمه‌گروه‌های معکوس، و جبر عملگر. در دو دهه گذشته پیشرفت های زیادی در این زمینه حاصل شده است و این کتاب شرح دقیق، به روز و نسبتاً گسترده ای از موضوع ارائه می دهد.

پس از فصل اول مقدماتی، فصل دوم گزارشی مستقل از نیمه گروه های معکوس، گروه های فشرده محلی و r-گسسته، و گروه های دروغ ارائه می دهد. بخش Lie groupoids در فصل 2 شامل بحث مفصلی درباره گروه‌نماها است که به‌ویژه در هندسه غیرجابه‌جایی مهم هستند، از جمله گروه‌های هولونومی یک منیفولد برگ‌دار و گروه تانژانت یک منیفولد. تئوری های نمایش گروهوئیدهای فشرده محلی و r-گسسته در فصل سوم توسعه داده شده است، و نشان داده می شود که جبرهای C* گروه نماهای گسسته r جبرهای کوواریانس C* برای اقدامات نیمه گروه معکوس در فضاهای هاسدورف فشرده محلی هستند. فصل پایانی یک گروه‌نمای گسسته r جهانی را با هر نیمه‌گروه معکوس مرتبط می‌کند. شش ضمیمه بعدی به موضوعات مرتبط با مواردی که در متن پرداخته شده است می پردازد.

این کتاب باید برای طیف گسترده‌ای از ریاضیدانان حرفه‌ای و دانشجویان تحصیلات تکمیلی در زمینه‌هایی مانند جبر عملگر، تجزیه و تحلیل بر روی گروه‌نماها، نظریه نیمه‌گروه‌ها و هندسه غیرجابه‌جایی جذاب باشد. همچنین برای ریاضیدانان علاقه مند به کاشی کاری و فیزیکدانان نظری که تمرکزشان بر مدلسازی شبه بلورها با کاشی کاری است، جالب خواهد بود. تلاش شده است تا کتاب شفاف و «کاربر پسند» باشد؛ بنابراین باید برای هر خواننده ای با پیشینه اولیه در نظریه اندازه گیری و تحلیل عملکردی قابل دسترسی باشد.

In recent years, it has become increasingly clear that there are important connections relating three concepts -- groupoids, inverse semigroups, and operator algebras. There has been a great deal of progress in this area over the last two decades, and this book gives a careful, up-to-date and reasonably extensive account of the subject matter.

After an introductory first chapter, the second chapter presents a self-contained account of inverse semigroups, locally compact and r-discrete groupoids, and Lie groupoids. The section on Lie groupoids in chapter 2 contains a detailed discussion of groupoids particularly important in noncommutative geometry, including the holonomy groupoids of a foliated manifold and the tangent groupoid of a manifold. The representation theories of locally compact and r-discrete groupoids are developed in the third chapter, and it is shown that the C*-algebras of r-discrete groupoids are the covariance C*-algebras for inverse semigroup actions on locally compact Hausdorff spaces. A final chapter associates a universal r-discrete groupoid with any inverse semigroup. Six subsequent appendices treat topics related to those covered in the text.

The book should appeal to a wide variety of professional mathematicians and graduate students in fields such as operator algebras, analysis on groupoids, semigroup theory, and noncommutative geometry. It will also be of interest to mathematicians interested in tilings and theoretical physicists whose focus is modeling quasicrystals with tilings. An effort has been made to make the book lucid and 'user friendly"; thus it should be accessible to any reader with a basic background in measure theory and functional analysis.