Constant Mean Curvature Surfaces with Boundary

مطالعه سطوح با میانگین انحنای ثابت (CMC) یکی از موضوعات اصلی در هندسه دیفرانسیل کلاسیک است. علاوه بر این، سطوح CMC مدل‌های ریاضی مهمی برای فیزیک رابط‌ها در غیاب گرانش هستند، جایی که آنها دو محیط مختلف یا برای پدیده‌های مویرگی را از هم جدا می‌کنند. علاوه بر این، از آنجایی که اکثر تکنیک‌های مورد استفاده در تئوری سطوح CMC نه تنها شامل روش‌های هندسی، بلکه PDE و تحلیل پیچیده نیز می‌شوند، این نظریه برای بسیاری از زمینه‌های ریاضی دیگر نیز بسیار جالب است.

در حالی که سطوح حداقل و سطوح CMC وجود دارد. به طور کلی قبلاً در ادبیات مورد بررسی قرار گرفته است، کار حاضر اولین مطالعه ای است که یک مطالعه جامع از "سطوح فشرده با مرزها" ارائه می دهد و تمرکز آن را به یک نمای هندسی محدود می کند. مسائل اساسی شامل این بحث می شود که آیا تقارن منحنی به سطح ارث می رسد یا خیر. مقادیر احتمالی میانگین انحنا، مساحت و حجم؛ ثبات؛ مورد مرز دایره ای و وجود مسئله Plateau در حالت ناپارامتریک. این نمایشگاه چشم اندازی از تحقیقات اخیر را ارائه می دهد، اما همچنین مجموعه ای از تکنیک ها را ارائه می دهد که اجازه می دهد نتایج به سایر فضاهای محیطی گسترش یابد. در سراسر متن، تصاویر متعددی نتایج و اثبات آن‌ها را روشن می‌کند.

این کتاب برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی و محققان در زمینه هندسه دیفرانسیل و به‌ویژه نظریه سطوح، از جمله تحلیل هندسی و PDE‌های هندسی در نظر گرفته شده است. این خوانندگان را به پیشرفت های تئوری راهنمایی می کند و آنها را با مسائل باز جالب آشنا می کند.

The study of surfaces with constant mean curvature (CMC) is one of the main topics in classical differential geometry. Moreover, CMC surfaces are important mathematical models for the physics of interfaces in the absence of gravity, where they separate two different media or for capillary phenomena. Further, as most techniques used in the theory of CMC surfaces not only involve geometric methods but also PDE and complex analysis, the theory is also of great interest for many other mathematical fields.

While minimal surfaces and CMC surfaces in general have already been treated in the literature, the present work is the first to present a comprehensive study of “compact surfaces with boundaries,” narrowing its focus to a geometric view. Basic issues include the discussion whether the symmetries of the curve inherit to the surface; the possible values of the mean curvature, area and volume; stability; the circular boundary case and the existence of the Plateau problem in the non-parametric case. The exposition provides an outlook on recent research but also a set of techniques that allows the results to be expanded to other ambient spaces. Throughout the text, numerous illustrations clarify the results and their proofs.

The book is intended for graduate students and researchers in the field of differential geometry and especially theory of surfaces, including geometric analysis and geometric PDEs. It guides readers up to the state-of-the-art of the theory and introduces them to interesting open problems.