Congruences for L-Functions

در [هاردی و ویلیامز، 1986] نویسندگان از یک ایده بسیار ساده برای به دست آوردن یک تطابق خطی شامل اعداد کلاسی از میدان های درجه دوم خیالی با توان معین 2 بهره بردند. تطابق آنها یک تنظیم واحد برای بسیاری از همسانی ها ارائه کرد که قبلاً توسط دیگران ثابت شده بود. نویسندگان با استفاده از ابزارهای مختلف ایده هاردی ویلیامز به شرح زیر بود. فرض کنید d ممیز میدان درجه دوم باشد. فرض کنید d فرد است و d = PIP2· . . Pn تجزیه منحصر به فرد آن به متمایز کننده های اول باشد. سپس، برای هر عدد صحیح مثبت k coprime با d، همخوانی به طور پیش پا افتاده برقرار است زیرا هر نماد Legendre-Jacobi-Kronecker (~) دارای مقدار +1 یا -1 است. با بسط این حاصل ضرب ~ e:=l (mod4) به دست می‌آید که e از میان مقسوم‌گیرنده‌های مثبت و منفی d عبور می‌کند و v (e) نشان‌دهنده تعداد عوامل اول متمایز e است. با جمع کردن این همخوانی برای o < k < Idl/8، gcd(k، d) = 1، ~ (-It(e) ~ (~) =:O(mod2n). eld o

In [Hardy and Williams, 1986] the authors exploited a very simple idea to obtain a linear congruence involving class numbers of imaginary quadratic fields modulo a certain power of 2. Their congruence provided a unified setting for many congruences proved previously by other authors using various means. The Hardy-Williams idea was as follows. Let d be the discriminant of a quadratic field. Suppose that d is odd and let d = PIP2· . . Pn be its unique decomposition into prime discriminants. Then, for any positive integer k coprime with d, the congruence holds trivially as each Legendre-Jacobi-Kronecker symbol (~) has the value + 1 or -1. Expanding this product gives ~ eld e:=l (mod4) where e runs through the positive and negative divisors of d and v (e) denotes the number of distinct prime factors of e. Summing this congruence for o < k < Idl/8, gcd(k, d) = 1, gives ~ (-It(e) ~ (~) =:O(mod2n). eld o