Jordan, Real and Lie Structures in Operator Algebras

تئوری جبرهای عملگر که بر روی فضای هیلبرت عمل می کنند در دهه سی توسط مقالات موری و فون نویمان آغاز شد. در این مقالات آنها ساختار جبرهایی را که بعداً جبرهای فون نیومن یا جبرهای W * - نامیده شدند، مطالعه کرده اند. آنها جبرهای پیچیده *- از عملگرها در فضای هیلبرت هستند. در حال حاضر نظریه جبرهای فون نویمان یک نظریه عمیقاً توسعه یافته با کاربردهای مختلف است. در چارچوب تئوری جبرهای فون نویمان، مطالعه فاکتورها (یعنی جبرهای W*- با مراکز بی اهمیت) بسیار مهم است، زیرا آنها نسبتاً ساده هستند و بررسی جبرهای W * - عمومی را می توان به مواردی کاهش داد. بنابراین نظریه عوامل یکی از ابزارهای اصلی در نظریه ساختار جبرهای فون نویمان است. در اواسط دهه شصت، تاپینگ [به 1] و استورمر [S2] مطالعه مشابه‌های جردن (غیر تداعی و واقعی) جبرهای فون نویمان را آغاز کردند - به اصطلاح جبرهای JW، یعنی فضاهای خطی واقعی اپرای خود الحاق. در فضای پیچیده هیلبرت که شامل عملگر هویت 1 است. بسته به محصول Jordan (یعنی متقارن) مقدمه 2 x 0 y = ~(Xy + yx) و در توپولوژی عملگر ضعیف بسته است. ساختار این جبرها اتفاقاً نزدیک به ساختار جبرهای فون نویمان است و می‌توان از ایده‌ها و روش‌هایی مشابه نظریه جبرهای فون نویمان در مطالعه جبرهای JW استفاده کرد.

The theory of operator algebras acting on a Hilbert space was initiated in thirties by papers of Murray and von Neumann. In these papers they have studied the structure of algebras which later were called von Neu­ mann algebras or W* -algebras. They are weakly closed complex *-algebras of operators on a Hilbert space. At present the theory of von Neumann algebras is a deeply developed theory with various applications. In the framework of von Neumann algebras theory the study of fac­ tors (i.e. W* -algebras with trivial centres) is very important, since they are comparatively simple and investigation of general W* -algebras can be reduced to the case of factors. Therefore the theory of factors is one of the main tools in the structure theory of von Neumann algebras. In the middle of sixtieth Topping [To 1] and Stormer [S 2] have ini­ tiated the study of Jordan (non associative and real) analogues of von Neumann algebras - so called JW-algebras, i.e. real linear spaces of self­ adjoint opera.tors on a complex Hilbert space, which contain the identity operator 1. closed with respect to the Jordan (i.e. symmetrised) product INTRODUCTION 2 x 0 y = ~(Xy + yx) and closed in the weak operator topology. The structure of these algebras has happened to be close to the struc­ ture of von Neumann algebras and it was possible to apply ideas and meth­ ods similar to von Neumann algebras theory in the study of JW-algebras.