Carleman’s Formulas in Complex Analysis: Theory and Applications

نمایش‌های انتگرالی توابع هولومورفیک نقش مهمی در نظریه کلاسیک توابع یک متغیر مختلط و در تحلیل پیچیده چند بعدی ایفا می‌کنند (در مورد بعدی، همراه با ادغام در کل مرز aD یک دامنه D، ما اغلب با یکپارچگی مواجه می‌شویم. بیش از مرز Shilov 5 = S(D)). آنها مشکل کلاسیک بازیابی در نقاط do اصلی D یک تابع هولومورفیک را که هنگام نزدیک شدن به مرز aD به اندازه کافی خوب رفتار می کند، از مقادیر آن روی aD یا روی S حل می کنند. در کنار این مسئله کلاسیک، ممکن و طبیعی است. یکی از موارد زیر را در نظر بگیرید: برای بازیابی تابع هولومورفیک در D از مقادیر آن در مجموعه‌ای MeaD که حاوی S نیست. البته، M باید مجموعه‌ای از منحصربه‌فرد بودن برای کلاس توابع هولومورفیک مورد بررسی (مثلاً برای توابع) باشد. پیوسته در D یا متعلق به کلاس هاردی HP(D)، p ~ 1).

Integral representations of holomorphic functions play an important part in the classical theory of functions of one complex variable and in multidimensional com­ plex analysis (in the later case, alongside with integration over the whole boundary aD of a domain D we frequently encounter integration over the Shilov boundary 5 = S(D)). They solve the classical problem of recovering at the points of a do­ main D a holomorphic function that is sufficiently well-behaved when approaching the boundary aD, from its values on aD or on S. Alongside with this classical problem, it is possible and natural to consider the following one: to recover the holomorphic function in D from its values on some set MeaD not containing S. Of course, M is to be a set of uniqueness for the class of holomorphic functions under consideration (for example, for the functions continuous in D or belonging to the Hardy class HP(D), p ~ 1).